Vektorkalkulus

Emnet kan tas som enkeltemne

Emnet bygger opp teorien for deriverte og integraler av funksjoner av flere variabler og utforsker anvendelser av disse teknikkene. Differensialgeometri for parametriserte kurver vil bli presentert, inkludert krumning og torsjon av en kurve. Taylorpolynomer for funksjoner av flere variabler blir utviklet og anvendt til å løse ekstremverdiproblemer, både med og uten bibetingelser. Kurset fortsetter med å undersøke vektorfelt og deres gradient, divergens og curl. Teorien om integraler kulminerer i setningene til Green, Gauss, og Stokes.

Generell studiekompetanse og følgende spesielle opptakskrav: Matematikk R1 og i tillegg enten:

• Matematikk R2

• Fysikk 1 + 2 eller

• Kjemi 1+ 2 eller

• Biologi 1 + 2 eller

• Informasjonsteknologi 1 +2 eller

• Geofag 1 + 2 eller

• Teknologi og forskningslære 1 + 2

Søknadskode 9197 (kravkode REALFA): Enkeltemner i realfag, lavere grad.

Kunnskap

Etter emnet skal studenten

• kjenne til begrepet deriverbarhet generelt, for vektor-valuerte funksjoner av flere variabler

• ha inngående forståelse av kjerneregelen for funksjoner i flere variabler

• kjenne til definisjonene av buelengde for en kurve i rommet, og en kurves enhetstangent, normal og binormal, og dens krumning og torsjon

• kjenne begrepet kompakt mengde i det euklidske rom, og ekstremalverdisetningen for funksjoner av flere variabler, kjenner begrepene stasjonærpunkt, ekstremalpunkt og sadelpunkt

• kjenne til operatorer fra vektoranalyse, nemlig gradient, kurl og div, og kjenner sammenhengen mellom dem

• kjenne definisjonene integraler i to og tre variabler, og kunne redegjøre for hva et variabelbytte gjør med integralet

• kjenne definisjonene av linjeintegraler, flateintegraler, og kan Green's, Stokes' og Gauss' teoremer

• kjenne hva indusert orientering til en kurve som er randen til en orientert flate, og indusert orientering til en flate som er randen til tredimensjonale områder

• kunne redegjøre for når et vektorlinjeintegral er veguavhengig, og forstå relasjonen med Greens teorem i enkeltsammenhengende områder

• kjenne til bruken av Green's, Stokes' og Gauss' teoremer innen elektromagnetisk teori

Ferdigheter

Etter emnet skal studenten

• kunne beskrive og tegne mengder gitt med likheter og ulikheter i n-dimensionale euklidiske rom

• kunne finne tangentromsligningen for grafene til eksplisitte funksjoner eller rom definert via implisitte ligninger

• kunne bruke kjerneregelen for funksjoner i flere variabler i eksempler og oppgaver

• kunne parametrisere en kurve i planet eller rommet ved buelengde, og ved polarkoordinater.

• kunne regne ut kurvens enhetstangent, normal og binormal, og dens krumning og torsjon

• kunne beregne integraler av funksjoner med to, tre eller flere variabler i konkrete problemstillinger.

• kunne bestemme og klassifisere stasjonære punkter for funksjoner av flere variabler

• kunne bestemme ekstremalpunkter for en funksjon av flere variabler under føringer ved hjelp av Lagrange-multiplikatorer

• kunne beregne lengder av kurver, arealer av områder i planet og av flater, samt volum av tredimensjonale rom

• kunne beregne integraler av skalar- og vektorfunksjoner på kurver og flater

• kunne anvende Greens, Stokes' og Gauss' teoremer for å finne verdien av konkrete integraler

• kunne teste når et gitt vektorfelt er konservativt og finne potensialet hvis det er det.

Generell kompetanse

Etter emnet skal studenten

• har inngående kjennskap til funksjoner i flere variable og vektoranalyse

• ha inngående kunnskap om et bredt spekter av metoder og teknikker for integrasjon av funksjoner, og anvendelser av slike teknikker.

• ha god oversikt over analytiske aspekter ved ekstremalproblemer med og uten føringer.

Anbefalte forkunnskaper

MAT-1010 Kalkulus, MAT-1020 Lineær algebra

Du vil få en reduksjon i antall studiepoeng (som oppgitt under), dersom du avlegger eksamen i dette emnet og har bestått følgende emne(r) fra før av:

• MA-110 Flervariabelteori 2 9 stp
• MAT-2051 Matematikk 4 for ingeniører 10 stp
• MAT-1003 Kalkulus 3 10 stp

Undervisnings- og eksamensspråk

Mer info om arbeidskrav

Arbeidskrav:

• To skriftlige prøver vil foregå fysisk på universitetet i seminartimene eller forelesningstimene. Begge prøvene må være godkjent.

• Ukentlige innleveringsoppgaver. Alle må godkjennes.

• Oppmøte på ukentlige seminartimer. Godkjenningskravet vil bli diskutert ved semesterstart.

Godkjent arbeidskrav gjelder kun for inneværende semester og for utsatte eksamener/kontinuasjonseksamener.

Kontinuasjonseksamen