Lineær algebra

Emnet kan tas som enkeltemne.

Lineær algebra er den delen av matematikken som studerer lineære ligninger og lineære avbildninger mellom vektorrom, samt hvordan disse kan representeres ved hjelp av matriser. Faget er en sentral byggestein i moderne matematikk og har grunnleggende anvendelser i naturvitenskap, teknologi, informatikk og andre kvantitative fag.

Moderne matematikk bygger på mengder, avbildninger og algebraiske strukturer som gir et presist rammeverk for beregninger og matematisk resonnering. Emnet begynner derfor med en innføring i mengder, avbildninger og grunnleggende prinsipper for matematiske argumenter. Deretter introduseres algebraiske strukturer som grupper og kropper, med de rasjonale, reelle og komplekse tallene samt endelige kropper som sentrale eksempler.

På dette grunnlaget studerer vi lineære ligningssystemer, matrisealgebra, vektorrom, underrom, lineær uavhengighet, basiser og dimensjon. Videre behandles lineære avbildninger, kjerner og bilder, koordinater, basisskifte, determinanter, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering, indreprodukt og ortogonalitet. Emnet avsluttes med spektralteorien for symmetriske og hermitiske matriser, inkludert spektralsatsen og positiv semidefinitet.

Utvalgte temaer bearbeides gjennom datalabøvelser og matematiske eksperimenter. Dette skal utdype studentenes forståelse og gi erfaring med å bruke datamaskiner til å utforske og løse problemer i lineær algebra.

Generell studiekompetanse og følgende spesielle opptakskrav: Matematikk R1 og i tillegg enten:

• Matematikk R2

• Fysikk 1 + 2 eller

• Kjemi 1+ 2 eller

• Biologi 1 + 2 eller

• Informasjonsteknologi 1 +2 eller

• Geofag 1 + 2 eller

• Teknologi og forskningslære 1 + 2

Søknadskode 9197 - enkeltemner i realfag.

Kunnskap

Etter å ha fullført emnet har studenten:

• kunnskap om mengder, avbildninger, sammensetning av avbildninger og inverse avbildninger
• kjennskap til grunnleggende algebraiske strukturer, særlig grupper og kropper, og til eksempler som Q, R, C og endelige kropper
• god kunnskap om matriser og sentrale matrisebegreper som rang, determinant, spor, invers, radrom og kolonnerom
• kunnskap om lineære ligningssystemer og sammenhengen mellom ligningssystemer, matriser og lineære avbildninger
• god kunnskap om vektorrom, underrom, lineærkombinasjoner, lineær uavhengighet, basis og dimensjon
• kunnskap om lineære avbildninger, kjerner og bilder, samt dimensjonsformelen
• kunnskap om koordinater, matriser for lineære avbildninger og basisskifte
• kunnskap om egenverdier, egenvektorer, karakteristiske polynomer, similaritet og diagonalisering
• kjennskap til Cayley-Hamiltons teorem
• kunnskap om indreprodukt, ortogonalitet, ortonormale basiser og Gram-Schmidts ortogonaliseringsprosess
• kunnskap om spektralsatsen for symmetriske og hermitiske matriser og om positivt semidefinite matriser

Ferdigheter

Etter å ha fullført emnet kan studenten:

• bruke mengde- og funksjonsnotasjon presist og avgjøre om en avbildning er injektiv, surjektiv eller bijektiv
• utføre grunnleggende beregninger i ulike kropper, inkludert med komplekse tall og i enkle endelige kropper
• utføre elementære radoperasjoner og bringe en matrise på redusert trappeform
• løse homogene og inhomogene lineære ligningssystemer ved hjelp av Gauss-Jordan-eliminasjon og beskrive løsningsmengden
• utføre matriseoperasjoner og beregne rang og invers
• beregne determinanter ved hjelp av definisjonen, utvikling etter rad eller kolonne og elementære radoperasjoner
• finne radrom, kolonnerom, kjerne og bilde og bestemme dimensjonene til disse
• undersøke om vektorer er lineært uavhengige, og finne basiser og dimensjoner for vektorrom og underrom
• beregne koordinatvektorer og matriser for lineære avbildninger og skifte mellom ulike basiser
• finne egenverdier, egenvektorer og egenrom og avgjøre om en matrise er diagonaliserbar
• konstruere ortogonale og ortonormale basiser ved hjelp av Gram-Schmidts prosess
• ortogonalt diagonalisere reelle symmetriske matriser og anvende spektralsatsen
• bruke digitale verktøy til å utføre, kontrollere og utforske beregninger i lineær algebra

Generell kompetanse

Etter å ha fullført emnet kan studenten:

• formulere og presentere matematiske resonnementer ved hjelp av presise definisjoner, teoremer og enkle bevis
• veksle mellom abstrakte formuleringer, geometriske tolkninger og konkrete matriseberegninger
• gjenkjenne algebraiske strukturer i ulike matematiske sammenhenger og anvende de samme metodene på forskjellige typer vektorrom
• velge hensiktsmessige metoder for å løse lineær-algebraiske problemer og vurdere om resultatene er rimelige
• bruke digitale beregninger og matematiske eksperimenter som støtte for teoretisk forståelse

Anbefalte forkunnskaper

MAT-1010 Kalkulus

Du vil få en reduksjon i antall studiepoeng (som oppgitt under), dersom du avlegger eksamen i dette emnet og har bestått følgende emne(r) fra før av:

• MA-101 Flervariabelteori 1 6 stp
• MA-101 Grunnkurs i matematikk II 6 stp
• MAT-1004 Lineær algebra 10 stp

Undervisnings- og eksamensspråk

Timeplan

Mer info om arbeidskrav

Opptil 3 obligatoriske arbeidskrav.

Godkjent arbeidskrav er kun gjeldende inneværende semester og ved utsatt eksamen/kontinuasjonseksamen.

Kontinuasjonseksamen