Snøfnugg, Bach og kunstig intelligens har en overraskende ting til felles

De fleste av oss har en gang sittet ved et piano og trykket på noen tangenter. Kanskje kom det noe som lignet en melodi. Men uansett – vi forsto intuitivt at det fantes regler der et sted. At noen toner hørte sammen og andre ikke.

Lytt til en av Bachs fuger. Det er noe der som ikke finnes i tilfeldig lyd: en følelse av at alt henger nøyaktig på plass, at kompleksiteten aldri truer med å kollapse. Bach tok et enkelt tema og lot det vandre gjennom musikken i forkledninger – speilet, snudd opp ned, forskjøvet i tid. 

Det som hørtes ut som magi, var et presist system av transformasjoner med indre logikk.

Vi befinner oss i dag i en situasjon som minner om dette – men speilvendt. Vi har ikke mangel på resultater. Kunstig intelligens gjenkjenner ansikter, oversetter språk og slår verdensmestre i sjakk. 

Algoritmer styrer kraftnett, finansmarkeder og medisinske diagnoser. Vi trykker på tangentene, og musikken kommer. Men de dype lovene som bestemmer hvorfor det virker, når det svikter, og hvor grensene egentlig går – de forstår vi ennå ikke fullt ut.

Hva er en matematisk struktur?

En matematisk struktur er et sett med regler for hvordan ting henger sammen og påvirker hverandre. Ta et snøfnugg: du kan rotere det 60 grader og det ser identisk ut, speile det og det ser identisk ut. Alle disse operasjonene danner et system med indre logikk. Matematikere kaller et slikt system en gruppe.

Det som gjør dette kraftfullt, er at nøyaktig den samme strukturen dukker opp overalt: i måten elementærpartikler vekselvirker, i krypteringen som beskytter bankdataene dine, og i måten et nevralt nettverk lærer å gjenkjenne ansikter. Når matematikere avdekker en struktur, låser de opp innsikt som kan brukes i hundrevis av tilsynelatende urelaterte sammenhenger.

Dette er kjernen i det nye synet på beregning som nå vinner frem: algoritmer oppfører seg ulikt avhengig av geometrien til rommene de opererer i og symmetriene de respekterer eller bryter. Beregning er ikke nøytral – det er i seg selv et strukturert fenomen som kan og bør forstås matematisk.

To verdener som fant hverandre

Gjennom store deler av 1900-tallet utviklet matematikken seg langs to nesten adskilte spor: ren matematikk, dyrket for sin indre skjønnhet, og beregning, rettet mot å løse konkrete problemer. 

I dag løser dette skillet seg opp. De dypeste abstrakte strukturene viser seg å være blant de viktigste verktøyene vi trenger for å forstå moderne kunstig intelligens og kvantedatamaskiner.

Et dramatisk eksempel: Da John Butcher på 1970-tallet utviklet sin teori for numerisk integrasjon, oppdaget han en elegant algebraisk struktur i beregningene sine. Tredve år senere fant Alain Connes og Dirk Kreimer nøyaktig den samme strukturen i Feynman-diagrammer fra kvantefysikken. 

Det inspirerte Martin Hairer til å løse problemer som hadde stått uløst i tiår – og i 2014 fikk han Fields-medaljen for det, matematikkens Nobelspris.

Norge tar grep

Midt i denne globale revolusjonen finner vi et uventet svar: Lie–Størmer-senteret, et matematisk samarbeid mellom UiT – Norges arktiske universitet og Universitetet i Bergen bygget med støtte fra Trond Mohn forskningsstiftelse. 

Senteret bygger på arven etter to skikkelser som så fremtiden uten å vite det. Sophus Lie arbeidet på 1800-tallet med symmetrier og transformasjoner – i dag er Lie-grupper et bærende matematisk språk i partikkelfysikk, kvantemekanikk og mekanikkbasert robotikk. 

Carl Størmer beregnet banene til ladede partikler i jordens magnetfelt med blyant og papir – og la dermed grunnlaget for numeriske metoder som i dag, i form av geometriske integratorer, er uunnværlige verktøy i simuleringer av alt fra partikkelbaner til værdynamikk.

Senterets ambisjon er å gjøre beregning til noe vi virkelig forstår – ikke bare noe som virker. Fra kunstig intelligens til kvantedatamaskiner: de store uløste spørsmålene handler til syvende og sist om struktur. 

Dagens nevrale nettverk mangler fortsatt en fullstendig matematisk forklaring – de gir svar, men teorien som forklarer hvorfor de virker så godt, er ufullstendig. En matematisk ryggradstruktur kan gjøre KI-systemer forståelige og forutsigbare. 

Kvantedatamaskiner opererer i et univers bygget på lineær algebra, gruppeteori og topologi – spørsmålet om hva de egentlig kan beregne er ikke et ingeniørspørsmål, men et strukturspørsmål.

Ved Lie–Størmer-senteret arbeider forskerne med problemstillinger som spenner fra geometriske integratorer – numeriske metoder som bevarer de fysiske strukturene i det de beregner – til den matematiske teorien bak maskinlæring og kvantealgoritmer. 

Fellesnevneren er alltid det samme spørsmålet: hvilke algebraiske og geometriske lover styrer egentlig det vi regner med?

Grunnforskning er ikke luksus

Det er fristende å spørre: kan vi ikke bare forske på det vi vet vi trenger? Historien svarer klart nei. Butchers trær ble utviklet for å forstå differensialligninger – ingen ba om dem, og ingen visste at de tretti år senere ville dukke opp i hjertet av kvantefeltteori. Det vi investerer i matematisk grunnforskning i dag, er det vi vil bygge morgendagens teknologi på.

Vi bygger systemer som tar medisinske beslutninger og former hvordan milliarder av mennesker forstår verden. Vi har ikke råd til å la de dypeste spørsmålene stå ubesvart. Vi trenger å forstå strukturen – ikke etterpå, men mens vi bygger. 

Lie–Størmer-senteret er det norske forsøket på å gi teknologiens fuge sitt rette matematiske språk – og ambisjonen rekker lenger enn forskningen alene: vi ønsker å bygge et hus for matematikk i Norge, der forskning, utdanning og formidling møtes og styrker hverandre.