MAT-2100 Kompleks analyse - 10 stp

Generell studiekompetanse og følgende spesielle opptakskrav:

Matematikk R1 + R2 og i tillegg enten:

• Fysikk 1 + 2 eller
• Kjemi 1+ 2 eller
• Biologi 1 + 2 eller
• Informasjonsteknologi 1 + 2 eller
• Geofag 1 + 2 eller
• Teknologi og forskningslære 1 + 2
• MAT-1002 Kalkulus 2 eller lignende

Søknadskode 9336 - enkeltemner i realfag.

Overordnet mål:

• Etter gjennomført kurs vil studenten være stødig i regning med komplekse tall og funksjoner av en kompleks variabel.
• Kandidaten forstår begrepet analytisk funksjon, og forstår rekkevidden av at analytisk fortsettelse er entydig.
• Studenten har videreutviklet sine regneferdigheter, og er også kommet lengre i mestring av bevisteknikker.

Detaljmål: Studenten kan:

• klassifisere isolerte singulariteter, ved hjelp av Laurent-rekke i punktert omegn om det singulære punkt. Dette omfatter også punktet i uendelig. Kan identifisere og beregne residyet til en funksjon i en isolert singularitet i en rekke enkle situasjoner som er nærmere beskrevet i læreboka.
• anvende dette i standardiserte eksempler på residy-regning som er nærmere beskrevet i læreboka, eller eksempler som er nært beslektet.

Studenten kjenner:

• en rekke analytiske funksjoner, slik som: Polynomer, rasjonale funksjoner, eksponentialfunksjon, trigonometriske og hyperbolske funksjoner, logaritme-funksjon, potensfunksjoner, og kunne operere med sammensetninger av disse.
• flertydige funksjoner, hvordan de kan defineres i en åpen mengde med snitt (branch cut) fra forgreningspunkt.
• sammenhengen mellom det at en funksjon er analytisk i et område, og muligheten for å representere den ved potensrekke, som Taylor-rekke eller Laurent-rekke. Kandidaten kan beregne slike rekker i en del konkrete eksempler. Hun kan beregne endelig antall ledd av potensrekke om et punkt for produkt eller kvotient av funksjoner som er analytisk i dette punktet eller har pol av endelig orden der, når rekken for hver av disse funksjonene er kjent.
• begrepet konvergensradius, og kan bestemme den i enkle tilfeller. Kandidaten vet også hvordan konvergensradien henger sammen med hvor funksjonen er analytisk.
• Cauchy's integralteorem og konsekvenser av dette, slik som Cauchy's integralformler. Kunne anvende dette i standardiserte eksempler på residy-regning som er nærmere beskrevet i læreboka, eller eksempler som er nært beslektet.
• sammenhengen mellom analytiske funksjoner og potensialteori (løsning av Laplace's ligning) i to dimensjoner.