MAT-2100 Kompleks analyse - 10 stp

Generell studiekompetanse + REALFA + MAT-1002 Kalkulus 2 eller tilsvarende .

Søknadskode 9336.

Overordnet mål:

• Etter gjennomført kurs vil studenten være stødig i regning med komplekse tall og funksjoner av en kompleks variabel.
• Kandidaten forstår begrepet analytisk funksjon, og forstår rekkevidden av at analytisk fortsettelse er entydig.
• Kandidaten forstår forskjellen mellom mengden av analytiske unksjoner og funksjonsrommene.
• Studenten har videreutviklet sine regneferdigheter, og er også kommet lengre i mestring av bevisteknikker.

Detaljmål:
Studenten kan:

• klassifisere isolerte singulariteter, ved hjelp av Laurent-rekke i punktert omegn om det singulære punkt. Dette omfatter også punktet i uendelig. Kan identifisere og beregne residyet til en funksjon i en isolert singularitet i en rekke enkle situasjoner som er nærmere beskrevet i læreboka.
• anvende dette i standardiserte eksempler på residy-regning som er nærmere beskrevet i læreboka, eller eksempler som er nært beslektet.

Studenten kjenner:

• en rekke analytiske funksjoner, slik som: Polynomer, rasjonale funksjoner, eksponentialfunksjon, trigonometriske og hyperbolske funksjoner, logaritme-funksjon, potensfunksjoner, og kunne operere med sammensetninger av disse.
• flertydige funksjoner, hvordan de kan defineres i en åpen mengde med snitt (branch cut) fra forgreningspunkt.
• sammenhengen mellom det at en funksjon er analytisk i et område, og muligheten for å representere den ved potensrekke, som Taylor-rekke eller Laurent-rekke. Kandidaten kan beregne slike rekker i en del konkrete eksempler. Hun kan beregne endelig antall ledd av potensrekke om et punkt for produkt eller kvotient av funksjoner som er analytisk i dette punktet eller har pol av endelig orden der, når rekken for hver av disse funksjonene er kjent.
• begrepet konvergensradius, og kan bestemme den i enkle tilfeller. Kandidaten vet også hvordan konvergensradien henger sammen med hvor funksjonen er analytisk.
• Cauchy's integralteorem og konsekvenser av dette, slik som Cauchy's integralformler. Kunne anvende dette i standardiserte eksempler på residy-regning som er nærmere beskrevet i læreboka, eller eksempler som er nært beslektet.
• sammenhengen mellom analytiske funksjoner og potensialteori (løsning av Laplace's ligning) i to dimensjoner.

En skriftlig eksamen av 4 timers varighet som teller 100%.

Karakterskala: Bokstavkarakterer A-F.

Kontinuasjonseksamen:
Studenter som ikke har bestått siste ordinære eksamen tilbys kontinuasjonseksamen tidlig i påfølgende semester, dersom emnet inngår som obligatorisk i studieprogrammet.

Utsatt eksamen:
Studenter med gyldig forfall tilbys utsatt eksamen tidlig i påfølgende semester.

Ny ordinær eksamen:
Gitt at kontinuasjonseksamen eller utsatt eksamen allerede blir arrangert vil øvrige studenter samtidig kunne ta ny ordinær eksamen.

Arbeidskrav: Obligatoriske øvelser kreves godkjent for adgang til å avlegge eksamen.

Eksamensdato er foreløpig og vil kunne bli endret. Endelig eksamensdato kunngjøres ved oppslag på det enkelte fakultet primo mai for vårsemesteret og primo november for høstsemesteret.

Lærebok:
Saff & Snider - Fundamentals of Complex Analysis, 3rd Edition:

Chapter 1: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Chapter 2: 1, 2, 3, 4, 5.

Chapter 3: 1, 2, 3, 5.

Chapter 4: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Chapter 5: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8.

Chapter 6: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Chapter 7: 1, 2, 3.